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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>852
> >>848-851
> ふっふ、ほっほ
> もう詰んだのか？ｗ ；ｐ）
> 
> 　>>727より再録
> >”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”
> この式は、下記（ja.ipedia）のペアノの公理 自然数の集合論的構成 の式だが
> 上記の通り、∩のIterated binary operation の意味が不明確（この説明を求められると詰まるだろう）
> なので、∩を使わない 別の工夫がある（下記）
> 例えば en.wikipedia Axiom of infinity, Extracting the natural numbers from the infinite set, Alternative method
> あるいは fr.wikipedia Axiome de l'infini
> あるいは、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学II
> あるいは、>>677 渕野昌 P10（無限公理）https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf 「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部
> 以上
> (引用終り)
> 
> 繰り返すが、∩のIterated binary operation の意味が不明確
> 
> さらに、wikipedia Axiom of infinity 記述を引用する >>630-631 より
> https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
> Axiom of infinity
> Extracting the natural numbers from the infinite set
> The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality.
> To extract the natural numbers, we need a definition of which sets are natural numbers. The natural numbers can be defined in a way that does not assume any axioms except the axiom of extensionality and the axiom of induction—a natural number is either zero or a successor and each of its elements is either zero or a successor of another of its elements. In formal language, the definition says:
> ∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])).
> Or, even more formally:
> ∀n(n∈N⟺([∀k(¬k∈n)∨∃k∀j(j∈n⟺(j∈k∨j=k))]∧
> 　∀m(m∈n⇒[∀k(¬k∈m)∨∃k(k∈n∧∀j(j∈m⟺(j∈k∨j=k)))]))).
> 
> つづく

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