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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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>>766
> >>760
> >定義より帰納的集合は
> >{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},・・・
> >を元として含む。
> >無限集合を含むとは限らないわけですな。
> 
> ご苦労様です
> 結論から言えば、Yesだが・・
> 
> 補足すると
> １）公理的集合論の立場と、日常数学（含む素朴集合論）の立場とあって
> 　例えばZFCの公理的集合論の立場は、無限集合は 公理として認めるべしだが
> 　一方、公理的集合論以前のカントールやデデキントは、無限集合を素朴に認めていたのです
> （だが、ラッセルのパラドックが見つかり、素朴集合論を制限して 公理化しようとなった）
> ２）少し掘り下げると、{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},・・・
> 　の極限として 素朴に無限を考えることは 正当化できる
> 　例えば、下記一点コンパクト化の例 として、N に最大元 ω を付け加える
> 　この ωが、公理的集合論におけるノイマン構成のω＝Nであることは、周知のとおり
> ３）ところが、問題は 公理として考えた場合、ω＝N として与えなければ ならないのだが
> 　つまり、ω＝Nは極限順序数であって、ω＝Nには前者が存在しない。即ち、前者に後者関数を適用してもダメなのです
> ４）そこで単純には、一点コンパクト化 ω＝Nの存在を公理とすることを思いつくだろう
> ５）しかし、先を見ると カントールの順序数全部を公理的集合論に取り込みたいのだ
> 　ω＝Nを含む 無限集合たる カントールの順序数全体を公理として認めてしまう、この方がスッキリなのです
> 　そうノイマンは考えた。だから、いまのような 無限公理の設定になっているのです（下記）
> 
> だから、公理的集合論で無限公理を認めない立場では、無限集合は含まない
> 公理的集合論でも無限公理を認める立場では、無限集合は含む（そして、素朴集合論はこちらです）
> 
> (参考)
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
> コンパクト化
> 一点コンパクト化の例
> 自然数全体（離散位相）
> N の一点コンパクト化は
> N に最大元 ω を付け加えた順序集合
> N∪{ω} の順序位相と同相になる。
> 
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
> 無限公理
> https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
> Axiom of infinity （注：こちら英文の方が 詳しいのでお勧めです）

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