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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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>>61 > >>59-60 > 君がCopilotに尋ねるべき質問 > > Q.行列の階数について教えて > > A.行列の階数（rank）は、行列の基本的な性質を表す重要な概念です。 > 行列の階数は、その行列に含まれる 独立な行（または列）の最大数 を示します。 > つまり、行列の行や列を線形結合で表せるかどうかを判断する際の指標となります。 > > 行列の階数の特徴： > 定義: > 行列 𝐴 の階数は、行列の 行の最大独立集合の数（または 列の最大独立集合の数）として定義されます。 > 行列を 行基本変形（または列基本変形） して、単純な形にすることで、階数を求めることができます。 > > 性質: > 零行列（すべての要素が 0）の階数は 0 。 > 𝑚×𝑛 行列の階数は、最大でもmin(𝑚,𝑛) 。 > > 正則行列（逆行列を持つ行列）は常に最大階数を持ち、 > 正方行列では階数がその行列のサイズと一致する。 > > 階数は行列の基本変形（行の交換、スカラー倍、行の加減）によって変化しない。 > > 求め方: > ガウス消去法（行基本変形） を使い、行列を 階段行列（行の先頭にある数が並ぶ形） に変形し、非ゼロ行の数を数える。 > > 行列式（determinant） を利用し、行列式が 0 でない部分行列を探す。 > > 特異値分解（SVD） を用いることで、数値計算上の階数を求めることも可能。 > > 行列の階数は、線形代数の問題を解く際に非常に重要な概念です。 > たとえば、線形方程式の解の存在を調べたり、行列の逆行列を決定したりする際に使われます。
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