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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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>>55 > これ面白い > > https://gigazine.net/news/20250429-newtons-method-updated/ > 2025年04月29日 サイエンス - GIGAZINE > 物理学者ニュートンが300年前に考案して現代でも実用されるアルゴリズム「ニュートン法」がアップデートされる > > 2024年、プリンストン大学のアミール・アリ・アフマディ教授と彼の元学生であるアブラール・チョードリー氏、ジェフリー・チャン氏の研究チームは、「半正定値計画法」という最適化技術を駆使して、テイラー展開に「ちょっとした調整」を加えることを思いつきました。 > > アフマディ教授らの手法は、関数が1つの谷だけを持つ「凸性」と、関数が複数式の2乗の和として表せる「二乗和表現可能性」という2つの重要な数学的特性を持つように微調整するというものです。つまり、「高次の近似を使いたいけど計算が難しい」という問題を、「高次の近似を少し調整して計算しやすくする」という発想で解決したというわけです。 > > この発見により、三次、四次、さらには五次以上の高次テイラー展開を用いた近似が可能になり、収束速度も格段に向上したとのこと。二次近似では誤差が二次収束し、三次近似では誤差が三次収束するというように、より少ない繰り返し計算で正確な答えに到達できるようになりました。 > > 記事作成時点では、ニュートン法は計算コストが高いため、機械学習のような大規模な実用問題では依然として勾配降下法が優先されています。しかし、「私たちの考案したアルゴリズムは理論上、明らかに高速です。計算技術の進歩と並行して、この理論的優位性が実用面でも10〜20年後には発揮される可能性があります」とアフマディ教授は予測しています。
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