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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>238
> >>233
> >どこで収束すると言うかによる
> 
> ID:mjJBPKO4 は、御大か
> 巡回ご苦労さまです
> 
> そうですね
> 前にも書いたが、昔高校時代に「大学への数学」のコラムに、p進付値についての記事があったのです
> 非アルキメデスとか 書いてあった記憶があります。当時 妙に感心しました
> 
> 下記ですね
> オストロフスキーの定理、
> 有理数体 Q 上の付値は、3つあり 自明なもの、通常の絶対値、それにp進付値
> 付値の取り方によって、収束するかしないかは 変わりますよねｗ ；ｐ）
> 
> (参考)
> https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0
> p進数
> 定義
> 有理数体 Q の p 進付値が定める距離（p 進距離）dp による完備化を Qp と表し、その元を p 進数と呼ぶ。Qp は Q における四則演算と距離空間の位相とを自然に拡張した演算と、p 進距離により定まる位相構造とを持つ。この四則演算に関して Qp は体をなし、演算はこの距離位相に関して連続である。この両立する演算と位相を持つ位相体 Qp を p 進数体という
> p 進数体の性質
> p 進数が p 進展開と一対一に対応することから、p 進数体は連続体濃度を持つ。Q を部分体として含むので、標数は 0 である。どのように順序を入れても順序体にはできない。実数体 R の代数閉包（複素数体 C）が二次拡大で完備であるのに対し、p 進数体 Qp の代数閉包 Qp は無限次拡大でしかも完備ではない。その完備化は代数閉体であって、Cp と表される。これは複素数体 C と体として同型であるが、同型写像の存在は選択公理に依存しており、具体的に同型写像を与えることはできない
> 
> 関連文献
> 加藤文元、中井保行『天に向かって続く数』日本評論社2016 - p進数の入門書
> 高木貞治「第10章 素数進法(𝖕 進法)」『代数的整数論』(第2版)岩波書店1971
> 
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
> オストロフスキーの定理
> 有理数体 Q 上の全ての非自明な付値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進付値に同値であるという定理である
> 1916年にアレクサンドル・オストロフスキー によって証明された
> 
> https://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem
> Ostrowski's theorem
> In number theory, Ostrowski's theorem, due to Alexander Ostrowski (1916), states that every non-trivial absolute value on the rational numbers
> Q is equivalent to either the usual real absolute value or a p-adic absolute value.[1]
> 
> Theorem statement
> Let |・|∗:Q→R  be any absolute value on the rational numbers.
> Then either |・|∗=|・|0, or |・|∗ is equivalent to |・|, or |・|∗ is equivalent to |・|p.[1]
> Proof
> 略
> 
> https://kotobank.jp/word/%E4%BB%98%E5%80%A4-571559
> 日本大百科全書(ニッポニカ) 「付値」valuation 足立恒雄
> たとえば(0)=0,(x)=1 (x≠0)と定義すれば一つの付値が得られる。これを自明な付値という
> Qを有理数体とし・・
> 有理数体の付値にはp進付値と自明な付値と絶対値しか（本質的には）存在しないことが知られている

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