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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>184
> >>176
> ふっふ、ほっほ
> 
> ＜落ちコボレさんへのヒント＞
> 『任意の実数αは有限または無限小数で表される』
> 一般人が直観的にとらえていることだが、当然ながら これは 数学的に立証できる
> ある程度の長い議論が必要だが
> 下記の chiebukuro.yahooや、尾畑研 東北大 など(他にも多数ある)を見ればいい
> そんなところに ツッコミ入れても 岩に頭突きをいれているが如しだよｗ ；ｐ）
> 
> (参考)
> https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14223453754
> chiebukuro.yahoo
> kot********さん
> chiebukuro.yahoo
> 2020/4/20任意の実数αは有限または無限小数で表されることを示せ。
> この問題について、今までこれは当たり前だと思っていたのですが、示せって言われるとよく分かりません。助けてください。
> ベストアンサー
> mao********さん
> 2020/4/21
> 示すべきは、
> α =Σ[n=0→∞]a(n)/10ⁿ
> となるよう整数列a(n)(a(0)を除いて1≦a(n)≦9)が存在することを示すことです。
> こう書くとなんだか自明じゃありませんね。
> https://math.stackexchange.com/questions/409658/can-every-real-number-be-represented-by-a-possibly-infinite-decimal
> Can every real number be represented by a (possibly infinite) decimal? asked Jun 2, 2013 WakeUpDonnie
> こちらを参考にしていきたいと思います。
> 
> [定理]
> 任意の実数は小数展開
> α = a₀.a₁a₂...をもつ。
> (証明)
> まず、a₀≦α<a₀+1となる整数a₀が存在します。
> 次に、a₀からa₀+1までの区間を10分割すると、どこかの区間に入るはずです。つまり、ある整数0≦a₁≦9が存在して、
> a₀+a₁/10≦α<a₀+(a₁+1)/10
> となるはずです。
> これを繰り返して、
> 数列{a(n)}を得ます。
> この数列a(n)は、(0を含む)任意の自然数nに対して
> Σ[k=0→n-1]a(k)/10^k + a(n)/10ⁿ≦α<Σ[k=0→n-1]a(k)/10^k + (a(n)+1)/10ⁿ
> を満たします。この式を(1)とします。
> S(n) = Σ[k=0→n]a(k)/10^k
> と定義したとき、
> lim[n→∞]S(n)=α
> となることが示したいことです。
> いま、(1)式の左半分より、任意の自然数nに対してS(n)≦αが成立します。
> これはS(n)が上に有界であることを意味します。
> また、a(1),a(2),...はすべて正なので、S(n)は単調増加数列です。
> 上に有界な単調増加数列は収束するので、lim[n→∞]S(n)は収束します。
> この極限値をAとすると、A≦αです。
> 一方、(1)式の右半分から、
> α<S(n)+1/10ⁿです。
> 右辺の極限をとれば、
> α≦Aを得ます。
> 以上よりα=A=Σ[n=0→∞]a(n)/10ⁿを得ます。
> したがって小数展開できるわけです。
> 
> つづく

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