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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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>>99
> >>83 追加
> 
> 下記も知っておく方が良い
> 特に
> 
> 1.任意の集合は整列可能．
> 　↓
> 2.任意の全順序集合は整列可能．
> 　↓
> 3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
> 
> これ、Jechの証明は、冪集合 P(X)を利用して 集合 Xの整列可能をしている
> 一見その逆の主張だね、面白い ；ｐ）
> 
> (参考)
> alg-d.com/math/ac/wot.html
> alg-d 壱大整域
> 選択公理 > 整列可能定理について
> 2012年08月05日
> 定理4 次の命題は同値
> 1.任意の集合は整列可能．
> 2.任意の全順序集合は整列可能．
> 3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
> 4.順序数αに対して P(α) も整列可能．
> 
> 証明 (1⇒2) 自明
> (2⇒3) (X, ≦)を整列順序集合とする． P(X) に二項関係 < を
> A で定める．これによって P(α) が全順序集合になることを確かめる．
> (i) ￢A<A について．
> A＼A= ∅ なので明らか
> 
> (ii) A A<Bとすると < の定義より，あるa0∈A＼Bが存在して「任意の b∈B＼A に対して a0 
> (iii) A A≠B とすると，X は整列順序集合だから a := min( (A＼B)∪(B＼A) ) が存在する．勿論 a∈A または a∈B であるが，明らかに a∈A ならば A < Bで，a∈B ならば B < A である．
> 
> (iv) (A ￢A<C と仮定する．A=C だとすると A<BかつB<A となり(ii)に反するので A≠B である．故に(iii)から C<A である．A<B, B<C, C<A より
> (1)　任意の b∈B＼A に対して a0 (2)　任意の c∈C＼B に対して b0 < c
> (3)　任意の a∈A＼C に対して c0 < a
> を満たすa0∈A＼B, b0∈B＼C, c0∈C＼Aが存在する．a0∈A＼Cである．
> ∵ a0 ∉ A＼C と仮定する．即ちa0∈Ac∪Cである．a0∈A＼Bだったから a0 ∈ (Ac∪C)∪(A＼B) = A∪C＼B ⊂ C＼B である．よって(2)により b0 < a0．従って(1)から b0 ∉ B＼A でなければならない．すると同様の議論を繰り返して a0 < c0 < b0 < a0 が導かれ，矛盾．
> 
> 同様にしてb0∈B＼A, c0∈C＼Bである．従って(1)(2)(3)から a0 < b0 < c0 < a0 となり，矛盾する．
> 以上より(P(X), <)は全順序集合である．よって，仮定より整列可能である．
> 
> (3⇒4) 明らか．
> 以下略す

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