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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>945
> >>932
> (引用開始)
> >>26
> （引用開始）
> (3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
> {X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
> A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
> としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
> 即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
> もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
> （引用終了）
> 選択関数はAの元なんだから、Aがwell-definedなら選択関数の存在は自明だけどその証明が無いのでは？
> (引用終り)
> 
> それ >>26 https://alg-d.com/math/ac/wo_z.html が、元のリンクだね？ alg-d 壱大整域さんに質問しなよ、喜んでくれるだろう
> それとは別に、他の証明と照らし合わせるのが良い、というか 常用のスジだ
> 下記 ”Zorn's lemma implies the axiom of choice”の証明で
> 集合族で 和集合”its union U:=⋃X”が一つのスジだ
> それで、下記 関数 f:X→U を導入する。これが、最後 選択関数になるんだろう
> Zorn's lemma に乗せるために、順序 ”It is partially ordered by extension; i.e.,”を導入する
> で、この順序で ”The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f.”として 結局 fが極大で
> 即ち fが 選択関数だと
> 
> 繰り返すが、上記 alg-d 壱大整域さん と 下記 en.wikipedia を見比べてみな
> 
> (参考)
> https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
> Zorn's lemma
> 
> Zorn's lemma implies the axiom of choice
> A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]
> 
> Given a set X of nonempty sets and its union
> U:=⋃X
> (which exists by the axiom of union), we want to show there is a function
> f:X→U such that
> f(S)∈S for each
> S∈X. For that end, consider the set
> P={f:X′→U∣X′⊂X,f(S)∈S}.
> It is partially ordered by extension; i.e.,
> f≤g if and only if
> f is the restriction of g. If
> fi:Xi→U
> is a chain in P, then we can define the function f on the union
> X′=∪iXi by setting
> f(x)=fi(x) when
> x∈Xi. This is well-defined since if i<j, then
> fi is the restriction of fj . The function
> f is also an element of P and is a common extension of all fi's. Thus, we have shown that each chain in
> P has an upper bound in P. Hence, by Zorn's lemma, there is a maximal element
> f in P that is defined on some X′⊂X. We want to show
> X′=X. Suppose otherwise; then there is a set
> S∈X−X′. As S is nonempty, it contains an element s. We can then extend
> f to a function g by setting g|X′=f and g(S)=s. (Note this step does not need the axiom of choice.) The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f. ◻

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