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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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>>14
> 前スレ 再録
> rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/907
> いつもお世話になっている
> alg-d 壱大整域氏
> 選択公理→ (整列可能定理)
> 
> これ分かり易いかも
> ”写像 g:λ→X∪{∞} を
> g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
> 　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
> なる g を 導入しているんだ
> で、写像 g の全単射を 言う
> なるほどね
> 
> そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
> 循環論法になる恐れがある、多分 （不可能の証明は 難しいので いまは深入りしないことに）
> 
> (参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
> alg-d.com/math/ac/wo_z.html
> alg-d 壱大整域
> トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
> 2011年11月13日更新
> 整列可能定理とZornの補題
> 
> 定理次の命題は(ZF上)同値．
> 1.選択公理
> 2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
> 3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
> 
> 証明
> (1 ⇒ 2)
> Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
> 順序数λで，￢|λ|≦|X| となるものを取る．
> 選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
> Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
> 写像 g:λ→X∪{∞} を
> g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
> で定義する．
> 
> α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
> ∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．
> 
> よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
> これは ￢|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
> そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
> ∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．
> 
> よってこれによりXを整列する事ができる．
> 
> (2 ⇒ 3)略す
> 
> (3 ⇒ 1)略す
> 
> おまけ
> (2⇒1)略す

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