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スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)

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>>291
> 転載
> https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/323-324
> <純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21>
> 2025/09/22(月)
> >実数列の集合 R^Nを考える.
> >s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 →>sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
> 
> さて
> 実数列の集合 R^Nを Formal power series(＝形式的冪級数)と見る視点は
> 下記の en.wikipedia でも採用されている
> 
> 記号を下記に倣い 実Rを環とみて R[[x]]を形式的冪級数環、R[x]を多項式環とする
> 時枝さんの同値類は 商 R[[x]]/R[x] に他ならない
> 
> 形式的冪級数 F1(x)∈R[[x]] 多項式f(x)∈R[x] において
> F1(x)と F(x)=F1(x)+f(x)とは、同じ同値類に属することは 明らか
> つまり F1(x)を同値類の代表とすると 同値類は 代表F1(x)+多項式f(x)という構造を取る
> ：
> この場合 f(x)の次数がn(つまりn次の係数an≠0 で an+1以降すべて0)
> 時枝のしっぽ同値の決定番号d(ある番号dから先のしっぽが一致する)は、この場合d＝n+1となる
> 
> いま、下記 都築暢夫 多項式環F[x]（今の場合R[x]）は、線形空間として（可算）無限次元だったことを思い出そう
> 無限次元線形空間から、作為をもって 有限次元の多項式を要素として 多項式を 選択することは可能だが
> しかし、ランダムに 無限次元線形空間から 任意の要素を選べばどうなるか？
> 
> その答えは、無限次元線形空間とランダム性とは 馴染まないってことだね
> （直観的には 無限次元空間だから 無限次元の要素であるべきだが 多項式でそれは成り立たないので 矛盾）
> 
> つまり、下記の非正則事前分布と同じで、非正則分布を成すので
> コルモゴロフによる公理系  P(Ω)=1 （全事象Ωに1を与える）を満たすことが出来ない（ランダム性は考えられない）■
> これが、箱入り無数目トリックです
> 
> 再度纏めると、確率論から外れる典型例が二つある
> 一つは ご存知非可測集合の場合で、もう一つが 全事象Ωが(大きすぎて)発散して 確率1を与えることができない場合
> （後者は、下記 AVILEN Inc. 2020に記されている通りだが、実務ではよく知られていることだが、純粋数学者で知る人は少ない）
> 
> (参考)
> https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
> Formal power series
> The formal power series over a ring R form a ring, commonly denoted by
> R[[x]]. (It can be seen as the (x)-adic completion of the polynomial ring R[x], in the same way as the p-adic integers are the p-adic completion of the ring of the integers.)
> The ring of formal power series
> Definition of the formal power series ring
> Ring structure
> Topological structure
> 
> つづく

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