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スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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>>5
> つづき
> 
> だめなのは、時枝記事だ。まあ、題名はおちゃらけだが、もっとはっきり、数学パズルとした方がよかったろう
> 非可測で、ヴィタリに言及しているのが、ミスリードだ
> Hart氏の”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2”のように、選択公理不使用のGAME2があるから、
> ソロヴェイの定理（下記 wikipedia ご参照）から、ヴィタリのような非可測は否定される
> conglomerabilityか、あるいは総和ないし積分が発散する非正規な分布により、可測性が保証されないと考えるべき
> 時枝氏は、確率変数の無限族の独立性が理解できていないのも痛いね
> 
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
> ヴィタリ集合
> ヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。
> 
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AD%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
> ソロヴェイモデル
> ソロヴェイモデルはロバート M. ソロヴェイ (1970)によって構成されたモデルでツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) の全ての公理が成り立ち、選択公理を除去し、実数の集合が全てルベーグ可測であるようにしたものである。この構成は到達不能基数の存在に依拠している。
> これによってソロヴェイはルベーグ不可測集合の存在をZFC (ZF+選択公理) から証明するには、少なくとも到達不能基数の存在がZFCと矛盾しない限り、選択公理が本質的に必要であることを示した。
> ステートメント
> DC は従属選択公理の略記とする。
> ソロヴェイの定理は次のことである。 到達不能基数の存在を仮定する。このとき、適切な強制拡大 V[G] の ZF+DC の内部モデルであって、実数のいかなる集合も全て、ルベーグ可測であって perfect set property を満たしベールの性質を満たすというモデルがある。
> 構成
> ソロヴェイはそのモデルを二つのステップによって構成した。まず初めに、到達不能基数 κ を含む ZFC のモデル M から始める。
> 最初のステップでは M のレヴィ崩壊 M[G] を取る。
> 略
> (引用終り)
> 
> つづく

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