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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4

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>>554 > >>526 > 次に524　２）の反例 > 定理２　各項が1>a_n>0を満たすとき > 　　　　Π(n=1~∞)(1-a_n)＞０　⇔　Σ(n=1~∞)a_n＜∞ > > 証明　級数が発散する場合は > Π(n=1~N)(1-a_n)　＜　exp(-Σ(n=1~N)a_n) > であるから、部分積が0に収束することにより、無限乗積も０に「発散」する > 級数が収束するときは、部分和が減少列であるから、下から押さえられることを示せばよい。 > あるNが存在して > a_n ＜ 1/2, n ≧ N > となる。このとき次が成り立つ。 > 1/(1 + 2 a_n)≦ 1 − a_n, n ≧ N > 級数が収束することから > 2?(n=1~N)a_n=?(n=1~N)2a_n > も収束し > したがって > ∏(n = 1~∞)(1 + 2 a_n) > も収束する。 > ゆえに部分積には下限∏(n = 1~∞)1/(1 + 2 a_n)があり、 > （0より大きな値に）収束する。 > > ま、上記の証明をトレースしなくても、例えば > a_nがみな正で、Σ(n=1~∞)a_nが有限なら > 1>exp(-a_n)だが、その無限乗積exp(-Σ(n=1~∞)a_n)は有限値 > > はい、二回死んだ！ｗ　大学2年の微積分再履修も落第ね　🐎🦌
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