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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4

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>>402 > 今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。 > 両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。 > すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、 > > μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1) } ∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) dμ_1(x) > > ＝ ∫_{ [0,1] } ∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) dμ_1(x) > > ＝∫_{ [0,1]×[0,1]^N } 1_B(x,y) d(μ_1×μ_N)(x,y) > > ＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(z) d(μ_N)(z) > > ＝μ_N(B) > > である。よって、μ_N^*(A) ≦μ_N(B) となった。[0,1)A ⊂ B ∈ F_N なる B は任意だったから、 > そのような B での inf を取れば、μ_N^*(A) ≦μ_N^*([0,1)A) である。 > 以上により、μ_N^*(A)＝μ_N^*([0,1)A) である。
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