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スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

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>>624
> >>611 補足
> >多項式環には、いかなる有限次多項式よりも 大きな次数の多項式が属する
> >この意味で、”多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元.”>>601
> 
> 多項式環を完備化すると、形式的冪級数環になる
> これは、有理数の完備化で実数になるのと類似で、
> 有理数の部分集合の有限小数を使っても、完備化できて、実数になるのと同様だ
> 
> つまり
> 有限小数環⊂有理数環(循環節をもつ無限小数)　⊂実数（完備化されたもの）
> 　↓↑
> 多項式環　⊂循環節をもつ形式的冪級数の加法群＊）⊂形式的冪級数環（完備化されたもの）
> という対応になる（＊）加群を環にできるかも。循環節は加法では保たれる。乗法でも保たれる？）
> 
> 有限小数の積と和の結果は、やはり有限小数だから、環に成るのは良いだろう
> 有理数を小数展開すると、無限小数なら循環節をもつ。有限小数になる場合もある。有限小数は、しっぽが0の循環節とみれば、循環節をもつ無限小数で纏められる
> 有理数のコーシー列で、完備化ができて、実数ができる
> 同様に、有理数を有限小数に置き換えても、コーシー列で、完備化ができて、実数ができる
> （例 円周率π＝3.14159・・・ この小数展開から、有限小数のコーシー列ができる）
> 
> さて、有限小数のコーシー列、これが有限で終わっては、完備化にならない
> だから、有限小数のコーシー列は無限に続かなければならない
> しかし、有限小数環の中には、無理数は存在しない。だから、無限列だが、πには決して到達しない（可能無限）
> 
> 同じように、多項式環を使って、超越関数 例えば 指数関数 e^x に収束するコーシー列を作ることができる
> e^x＝Σn=0～∞ (x^n)/n！＝1+ｘ+(x^2)/2！+(x^3)/3！+・・・
> この冪級数を使って、多項式のコーシー列を作ることができることは自明だろう
> 
> 多項式環の中には、超越関数は含まれない
> だから、多項式のコーシー列が、指数関数 e^xに到達することはない（可能無限）
> しかし、多項式のコーシー列によって完備化され、形式的冪級数環が出来る（有限小数のコーシー列で完備化でき実数が出来るのと同様だ）
> 
> ここらは、デリケートで難しい話だ
> これが分からない人がいても、不思議では無い！ｗ

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