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ガロア第一論文及びその関連の資料スレ

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>>202 > >>201 > >a)環(ring)について、説明せよ！ > > 定義は以下の通り > 環とは、集合 R とその上の二つの二項演算、 > 加法 +: R × R → R および > 乗法 ?: R × R → R > の組 (R,+,?) で、 > 「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う > （環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる）。 > > 加法群 > (R, +) はアーベル群である > 1. 加法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ[注 2]。 > 2. 加法の結合性： 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。 > 3. 加法単位元（零元）の存在：如何なる a ∈ R に対しても共通して 0 + a = a + 0 = a を満たす 0 ∈ R が存在する。 > 4. 加法逆元（反元、マイナス元）の存在： 各 a ∈ R ごとに a + b = b + a = 0 を満たす b ∈ R が存在する。 > 5. 加法の可換性： 任意の a, b ∈ R に対して a + b = b + a が成立する。 > > 乗法半群 > (R,?) はモノイド（あるいは半群）である > 1. 乗法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a ? b ∈ R が成り立つ[注 2]。 > 2. 乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a ? b)? c = a ?(b ? c) が成立する。 > 3. 乗法に関する単位元を持つ[注 1]。 > > 分配律 > 乗法は加法の上に分配的である > 1. 左分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して a ?(b + c) = (a ? b) + (a ? c) が成り立つ。 > 2. 右分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b)? c = (a ? c) + (b ? c) が成り立つ。 > が成り立つものをいう。 > 乗法演算の記号 ? は普通省略されて、a ? b は、ab と書かれる。
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