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純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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>>966 > >>953 > 補足 > > (引用開始) > https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 > 単純群 > 1.2 無限単純群 > 無限単純群 > 無限交代群 A_∞、つまり整数全体の偶置換の群は単純群である。この群は有限群A_nの(標準埋め込み A_n → A_n+1に関する)単調増加列の合併として定義できる。 > (引用終り) > > ふと思ったが > これで、同様に無限対称群 S_∞を考えたらどう？ > 上記のA_∞と同じ > で、S_∞ ⊃ A_∞ となって、有限群で SnとAnのアナロジーができる > A_∞は、S_∞の正規部分群で、その指数は２とできるだろう（証明は、多分可能じゃね？（＾＾；） > > それで > >>905 > >龍孫江氏のYoutube動画 > >解説テキスト版：https://note.mu/ron1827/n/n6f79eb36c397 > >”Ｇが群、ＨがＧの指数有限の部分群ならば、Ｈは指数有限の正規部分群を包むことを示せ．” > >>906 > >　"昔々、多分１９６０年ころの東大の院試問題で > >　「群が指数有限の部分群を含めば、指数有限の正規部分群を含む」 > >　ってのが出た" > > ここで、G＝S_∞、H＝A_∞としたらどうなるのかね？ > 有限群では、 SnとAn（n≧5）なら、Snに対してAnは唯一の非自明な正規部分群だろ？　でも、この場合は{e}を使えば、Anに「指数有限の正規部分群を含む」は言える > > しかし、G＝S_∞では、{e}では指数有限にならないが > G＝S_∞で、A_∞⊃Nと出来て、NはS_∞に対して「指数有限の正規部分群」となるようなN（当然無限群でなければならない）が存在れば良いけど > > その龍孫江氏の証明使って良いからさｗｗｗ > 上記A_∞⊃Nなる「指数有限の正規部分群N」の存在を示せ！ｗ（＾＾； > どぞ（＾＾； > > 示せないなら、G＝S_∞で反例成立じゃね？
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