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純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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>>49
> 前スレより
> 純粋・応用数学（含むガロア理論）4
> https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598748159/766
> (抜粋)
> 自分で言ったこと覚えているか？
> 「行列式はテンソルです」(>>576)
> 「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
> って、言ったよね
> (引用終り)
> 
> これ、前スレからだが、再度潰しておく（＾＾
> 
> １．話を簡単にするために、内積を取り上げる
> ２．内積は、下記のように、”直積 (ベクトル) 内積との対比” にあるように、二つのベクトルのテンソル積から成る行列のトレースで、スカラー
> ３．一方、二つのベクトルのテンソル積からできるテンソル空間の元としてのテンソルは、元の一つのベクトル空間よりも、その次元は大きい
> ４．よって、二つのベクトルの内積たるスカラーが、二つのベクトルのテンソル積からできる テンソル空間の元としてのテンソル には、成り得ない！
> 　但し、”直積 (ベクトル) 内積との対比” にあるように、両者にはある関係が成立している のですが
> ＱＥＤ
> 以上（＾＾；
> 
> （参考）
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
> 直積 (ベクトル)
> (抜粋)
> 直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
> 
> 内積との対比
> m = n のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（1 × 1 行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）<u, v> = uT v である。内積は外積のトレースに等しい。
> （注：uTは、ベクトルuの転置。つまり、いまベクトルu, vは列ベクトルで、uTはuを行ベクトルにしている）
> 
> つづく

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