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純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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>>20
> >>19
> つづき
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> ロビンソンの超実数 (hyper-reals) は無限小で豊饒化された連続体の厳密な定式化であり、移行原理（英語版）がライプニッツの連続の法則の厳密な定式化である。また、標準部（英語版）はフェルマーの擬等式の方法（英語版） (ad-equality, pseudo-equality) の定式化である。
> 
> ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている:
> 
> Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.[4]（訳: 今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。にも拘らず、未だにそれを扱うことが必要である）
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> 
> 目次
> 1 一階の性質
> 2 無限小を含む数体系
> 2.1 形式級数体
> 2.1.1 ローラン級数体
> 2.1.2 レヴィ-チヴィタ体
> 2.1.3 超越級数体
> 2.2 超現実数体
> 2.3 超実数体
> 2.4 準超実数体
> 2.5 二重数環
> 2.6 滑らかな無限小解析
> 
> 滑らかな無限小解析
> 詳細は「滑らかな無限小解析」を参照
> 綜合微分幾何学（英語版）あるいは滑らかな無限小解析は圏論に起源を持つ。このやり方では、従来の数学において古典論理が用いられることから外れて、排中律 (l.e.m) の一般適用を排除する（つまり、"￢(a ≠ b)" が "a = b" を意味しない）。それにより、複零 (nilsquare) あるいは冪零無限小が定義可能になる（つまり、x2 = 0 および x ≠ 0 が同時に成立する数 x が存在しないことはない）。背景となる論理が直観主義論理であるため、このような数体系に前掲の分類 1, 2, 3 をどう当てはめることができるかは直ちには明らかでない（まずはこの分類の直観主義論理版を知らねばならない）。
> 
> つづく

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