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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83

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>>40 > 或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、x^n+y^n＝z^n が成り立つとする。 > Euclid 平面 R^2 上の半径1の円周をCで表す。 > 仮定から、nは3以上の整数だから、仮定で成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、 > 3つの正整数 x、y、z の大小関係について、0＜x＜z、0＜y＜z が両方共に成り立つ。 > 仮定から x、y、z は何れも有理整数だから、x、y、z∈Z。また、有理数体Qは有理整数環Zの商体だから、Z⊂Q。 > よって、z＞0 から、x/z、y/z∈Q。0＜x＜z だから、0＜x/z＜1。同様に、0＜y＜z だから、0＜y/z＜1。 > 平面 R^2 上で点 A(x/z,y/z) と原点 O(0,0) とを結ぶ線分と、x軸正方向とのなす角をθとする。 > 0＜x/z＜1、0＜y/z＜1 が両方共に成り立つから、0＜θ＜π/2 である。 > 平面 R^2 上の半径1の円周上には、a^2+b^2＝1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たしているような有理点 (a,b) が稠密に分布する。 > 逆に、a^2+b^2＝1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たしているような有理点 (a,b) は、すべて平面 R^2 上の半径1の円周上に存在する。
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