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現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

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>>33
> >>24
> >Ωが次の性質を持つ限りZFCと両立することはできません。
> >・Fを
> >x∈F⇔∃x1∋x2∋‥‥∋xn, x1=Ω, xn=x
> >によって定められる集合とするときFの任意の要素はシングルトンか空集合。
> >・Ωは有限Zermelo ordinal numberではない。
> 
> （前スレ>>961より）
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
> 自然数
> (抜粋)
> <ノイマン構成>
> ・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
> 　suc (a):=a∪{a}
> このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
> <Zermelo構成>（前スレ>>725より）
> 他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
> 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
> 0 := {}
> 1 := {0} = {{}}
> 2 := {1} = {{{}}}
> 3 := {2} = {{{{}}}}
> (引用終り)
> 
> なので、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も
> ∈-数列
> 0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω
> （"→ω"の意味は、ωに向けてずっと続くってことね）
> （なお、ωは、超限順序数で、いわゆる”有限”ではない）
> 
> で、「0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω」は、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も全く同じ
> だから、この<Zermelo構成>を否定することはできません
> （∵<Zermelo構成>を否定すると、<ノイマン構成>も同様に否定されるから）
> 
> 但し、
> <ノイマン構成>においては、ω＝N（自然数の集合）なので
> n∈ω（＝N）は、可
> というか
> <ノイマン構成>なら、任意のm<nで、m∈n成立
> （∵<ノイマン構成>では、後者関数の定義が、それ以前の全てを要素からなる集合だから（前スレ966））
> 
> 一方、<Zermelo構成>においては、もともと、任意のm<nで、m∈n不成立
> （∵<Zermelo構成>では、後者関数の定義が、異なるため）
> だから、もともと、”n not∈ω（=x1=Ωかな）”なのです（nは、任意の自然数）
> これは、後者関数の定義の問題なのです
> （なので、<Zermelo構成>もZFC内で成立します）
> 
> つづく

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