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現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>201
> >>197
> すでに>>152-155に書いたように
> １）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
> 　ペアノの公理
> 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
> ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
> x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
> ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。
> 存在と一意性
> 集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
> 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
> 一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
> 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
> (引用終り)
> 
> ２）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
> 自然数
> （Zermelo構成）
> 他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
> 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
> 0 := {}
> 1 := {0} = {{}}
> 2 := {1} = {{{}}}
> 3 := {2} = {{{{}}}}
> と非常に単純な自然数になる。
> 
> ３）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
> 極限順序数
> (抜粋)
> 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
> 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
> ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
> よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
> 　ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
> 
> ４）こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
> 
> なお、まとめると
> Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」
> の
> 順序位相（英語版）に関する極限点として
> ωが定義される
> それだけのこと

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