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現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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>>783 > >>775 補足 > > (>>725より) > <ノイマン構成> > 0 := {}, suc(a) :=a∪{a} と定義する > 0 := {} > 1 := suc(0) = {0} = {{}} > 2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} } > 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } } > 等々 > > (>>728より) > <ノイマン構成>にしろ、<Zermelo構成>にしろ > 0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら > 上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈… > が構成される > > (>>690より) > １．無限公理を適用して、全ての後者関数を含む無限集合の存在を認める > ２．そうすると、無限集合はできるが > 　　このままでは、過剰な後者を含んでいる > 　　欲しいのは、ジャスト自然数の集合N > ３．従って、自然数集合Nには不要な、過剰な後者を取り除きます > > で、<ノイマン構成>で自然数集合Nができる > N：＝{0,1,2・・n・・} （全ての有限の自然数nを集めたもの） > 当然、要素の全ての有限の自然数nは、後者関数により生成されている > 上昇列：0,1,2・・n・・ > これは、可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない > > <ノイマン構成>では、Nが∞に相当し順序数ω > 上昇列：0,1,2・・n・・ω > Nの後者も定義できる、suc(N) :=N∪{N} > 明らかにN≠N∪{N} > > さて、<Zermelo構成>で、シングルトンを用いて同じことができる > 上昇列：0,1,2・・n・・ω > これは、可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない > ωの後者も定義できる、suc(ω) :={ω} > 明らかにω≠{ω} > <Zermelo構成>の場合、ωは最小の可算無限シングルトンになる > 繰返すが、上昇列は可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない > ＱＥＤ > （＾＾
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