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現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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>>50 > >>46 > ＞反駁するなら集合論の中でやってください > > えーと、これなんかどうしょうか > https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 > 順序数 > (抜粋) > 順序数の大小関係 > 任意の順序数 α, β, γ に対して次が成り立つことが示される： > α not∈ α, > α ∈ β かつ β ∈ γ ⇒ α ∈ γ, > α ∈ β または α = β または β ∈ α 。 > そこで、α ∈ β のとき β は α より大きいといい、α < β と書く。 > この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。 > ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、ω 以上の（すなわち ω と等しいか ω より大きい）順序数を超限順序数と呼ぶ。 > 順序数の大小関係に関して次が成り立つ： > 5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。 > 順序数の並び方を次のように図示することができる： > 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. > まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。 > そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。 > その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。 > だがそれで終わりではない。 > 無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
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