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現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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>>491 > >>485 > どこかで読んだのだが、厳密性とは、所詮その時代の水準のものでしかないとか言われていた > 昔（20世紀前半）は、一階述語論理が重視されたが > 20世紀後半からは、一階述語論理偏重を見直す動きがある > > https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88 > 有限集合 > (抜粋) > 基礎付け問題 > > 無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。 > これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。 > 特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、それら無限集合はそのモデル内では有限に見える（これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる）。 > 不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。 > 従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。 > > 興味深いことに、ZFCにおいて有限集合を集合全般から区別する様々な特性は、より弱い体系であるZFや直観主義的集合論の場合とは論理的に等価ではないことが判っている。 > よく知られている有限性の定義として、リヒャルト・デーデキントの定義とカジミェシュ・クラトフスキの定義がある。 > > つづく
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