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現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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>>438 > >>434 > 追加 > > https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99 > グロタンディーク宇宙 > (抜粋) > グロタンディーク宇宙と到達不能基数 > グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある: > ・空集合 > ・すべての遺伝的有限集合 の集合　 V_{\omega }}V_\omega 。 > > 他の例は構成がより困難である。 > 大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。 > より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である: > > (U) すべての集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。 > (C) すべての基数 k に対して、k よりも巨大な強到達不能基数 λ が存在する。 > > 任意のグロタンディーク宇宙はある k に対し u(k) の形となる。 > これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである: > > グロタンディーク宇宙 U に対して、|U| は零、 アレフ0、もしくは強到達不能基数のいずれかとなる。 > また、k が零、 アレフ0、もしくは強到達不能基数ならば、グロタンディーク宇宙 u(k) が存在する。 > さらに、u(|U|) = U かつ |u(k)| = k となる。 > 強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と Vω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。
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