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現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>415
> >>413
> 
> ・任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ωが定義されたとする（これは同型を除いて一意）
> ・ωは、順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点
> ・集積点であるとは、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
> ・よって、下記の「0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)」上昇列から、
> 　S(ω)→ｎ（ｎは有限）の ”無限降下列”を考えると
> 　集積点ω（＝極限順序数）を通過するので、「S の点を無限に含む」、即ち、無限の自然数の元を含む
> ・しかし、構成法からも分かるように、この”無限降下列”は最小元をもち、正則性公理（＝最小元を持たない）には反しない
> QED
> 
> (参考>>322もご参照)
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
> 極限順序数
> (抜粋)
> 集合論および順序論（英語版）における極限順序数は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
> 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、極限順序数である。
> ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
> 集積点/極限点
> (抜粋)
> 定義
> 位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
> この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
> https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
> T1空間
> (抜粋)
> X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
> 
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
> 順序数
> (抜粋)
> 順序数の並び方を次のように図示することができる：
> 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), ・・
> まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる
> そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく

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