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現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>112
> >>77 追加
> 
> 下記、定理 93ですけど、ここに集積点を含まないことは明白ですね（＾＾
> http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
> 坪井明人 筑波大
> http://math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/set2.pdf
> 坪井明人
> 11 整列集合
> 定義 88（整列順序）順序集合 (X, <) が整列集合（あ
> るいは整列順序集合）であるとは，空でない任意の
> A ⊂ X の中に（A の）最小元が存在することである．
> 注意 89 整列集合は全順序集合である．全順序集合
> であることは，２元集合 A = {x, y} に必ず最小元が
> 存在することからわかる．
> 例 90
> 1. (N, <) は整列集合である．
> 2. (Z, <) は（全順序集合であるが）整列集合でない．
> 3. 有限の全順序集合は整列集合になる．
> 関数 f : N → X は X の元からなる無限列と考えられる．
> 無限列は (an)n∈N などで表す．
> 定義 91 (X, <) を順序集合とする．X の元の無限列
> (an)n∈N が無限降下列であるとは，任意の n ∈ N に対して，
> an+1 < an が成立することである．
> 例 92 1. Z における数列 (an)n∈N を an = ?n で定めると，無限降下列である．
> 2. N の中には無限降下列は存在しない．
> 
> 定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
> 1. (X, <) は整列集合である；
> 2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．
> 
> 証明： 1 ⇒ 2: (X, <) を整列集合とする．全順序
> 集合になることは既に調べた．X の中に無限降下
> 列 (an)n∈N が存在したとしよう．このとき，集合
> A = {an : n ∈ N} ⊂ X は最小元を持たない．これ
> は X が整列集合であることに反する．
> 2 ⇒ 1: 2 を仮定する．空でない A ⊂ X を任意に
> とる．A に最小元が存在することを示そう．a0 ∈ A
> を選ぶ．これが A の最小元ならば議論は終了する．
> そうでなければ，a1 ∈ A, a1 < a0 が存在する．a1
> が最小元ならば議論は終了するので，再び a2 ∈ A,
> a2 < a1 が存在する．以下同様に A の元 an を
> a0 > a1 > a2 > ・ ・ ・ an?1 > an
> となるように選ぶ．A は無限降下列を持たないので，
> この構成はいつか止まる．すなわち，ある n に対し
> て an ∈ A が最小元になる．
> (引用終り)
> 以上

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