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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76

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>>990 > >>984 > 「数学基礎論の伝統と新しい手法:逆数学」か（＾＾ > https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/32/1/32_1_3/_pdf > 数学基礎論の伝統と新しい手法:逆数学　科学基礎論研究 2004 > 田中一之*東北大学大学院理学研究科 > > 1 はじめに > 数学全般を基礎付けるような完全な公理系が存在しないことを > 1931年にGodelが示した後は,数学(の理論や命題)に > どのような公理が真に必要か,あるいはどのような公 > 理系では不十分かという問題へ関心をシフトしていっ > た。具体的な進展は,1963年のP.Cohenの結果に > よって始まった。彼は,連続体仮説と選択公理がZF集 > 合論の公理から導けないことを証明した。1977年に > は,ParisとHarringtonが,Peano算術では証明で > きない有限組合せ論の真なる命題を発見した。 > > その後も,公理系からの独立命題に関する研究はたくさんあ > るが,たとえばベクトル空間の基底の存在定理に選択 > 公理が真に必要であることが示されたのも漸く1984 > 年のことである(Blassによる)。また,巨大基数の存 > 在などZF集合論の枠を大きくはみ出す公理の研究も > 1980年代から盛んになった。 > > 3 Peano 算術と2階算術 > Peanoの5つの公理は,現代的な意味での公理系で > はない。FregeやRussel1の研究を下敷きに,第1階の > 自然数論を最初に正確に定義したのはHilbertであ > り,それを今日の形に整えたのはGode1である。 > むかしはHilbert算術という呼び名もあったが,今日では > 大概Peano算術と呼ばれている｡ > Peano算術PAは第1階の自然数論であり,厳密に > は乙1={+,.,0,1,<}を言語とし,等号を含む第1 > 階論理の上で,以下の8つの基本公理及び数学的帰納 > 法の公理図式Indで構成される([12]参照)｡ > > つづく
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