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現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む76

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>>844
> >>817
> 筑波大 若林誠一郎”選択公理を
> 用いないと証明できない. 選択公理を公理として採用することは,
> 一見奇異に見えるバナッハ・タルスキーのパラドックスを数学の定理として認めることになる”（下記）
> 
> 逆に、選択公理を使えば、パラドックスが正統化されるような幻想を抱かせる効果が出るみたいｗｗ（＾＾
> http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/indexj.html
> 若林　誠一郎 筑波大学名誉教授
> http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/bt_ssh.pdf
> 面積・体積って何？－バナッハ・タルスキーのパラドックス (200611, 竹園高校) 若林誠一郎
> （下記とほぼ同じ内容だが、高校向けにやさしく書いてある）
> http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/bt_pdox.pdf
> バナッハ・タルスキーのパラドックス (2006年度数理物質科学コロキュウム)
> 若林誠一郎
> (抜粋)
> 定理 (Banach-Tarski(バナッハ・タルスキー) のパラドックス, 1924):
> (1) 球を有限個の小片に分けて, それらをつなぎ合わせて元の球と同じ
> 大きさの球を２ヶ再構成できる.
> (2) グリーンピースを有限個の小片に分けて, それらをつなぎ合わせて
> 太陽と同じ大きさの球を再構成できる.
> 
> 注意 3: バナッハ・タルスキーの定理で, 少なくとも１つの小片はルベー
> グ可測でない.
> 3 選択公理を用いないと多くの重要な結果が証明できなくなる. バナッ
> ハ・タルスキーの定理 (パラドックス) を証明するには, 選択公理を用
> いる必要がある. またルベーグ可測でない集合の存在も, 選択公理を
> 用いないと証明できない. 選択公理を公理として採用することは, 一
> 見奇異に見えるバナッハ・タルスキーのパラドックスを数学の定理と
> して認めることになる.
> 
> 4. バナッハ・タルスキーの定理
> 
> 定理 3 ((AC)): A, B ⊂ R
> 3 かつ A, B は有界 (原点を中心とする十分大き
> い半径の球に含まれる) かつ内点をもつ (A に含まれる球が存在し, また
> B に含まれる球も存在する) と仮定する. そのとき, 有限個の集合 A1, ・ ・ ・ ,
> AN , B1, ・ ・ ・ , BN で次を満たすものが存在する
> 
> 注意 7: 例えば指定された半径をもつ球やもっと一般に内点をもつ有界な
> 立体を, 半径１の球を有限個の小片に分けてつなぎ合わせて作ることがで
> きること意味する.

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