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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76

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>>836 > >>804 > >>803は、いろいろ問題があるね > > ＞3) 真とも偽とも決定できぬ場合 > ＞∀や∃を含まぬ命題については, > ＞3)の場合はあり得なかった。 > > 「∀や∃を含まぬ命題」は、正しくは > 「∀や∃を含まぬ”自然数論の”命題」だろう > > なぜなら命題論理の式の中には > 真偽が決定できない式がある > 例えば、A∧B　は恒真式でも > 恒偽式でもないから > 真偽が決定できない > > ＞通常の立場では,自由変数を含まぬ命題の真偽は, > ＞われわれがそれを決定できると否とにかかわらず, > ＞真か偽のいずれかに定まっている,と考える(排中律)。 > > 排中律を前提しても、二値論理になるとはいえない > 真偽値がブール代数であれば排中律を満たすので > 真でも偽でもない真偽値をとることはあり得る > > ＞命題の真偽に,より精密な定義を与えることが必要となる。 > ＞そして,それを実行したのが, > ＞ゲンツェンによる"自然数論の無矛盾性証明"である。 > > これ、最大級の誤解 > というのは、ゲンツェンの無矛盾性証明は > 自然数論の証明図をある順序（ε0)で並べて > 証明図からカット除去ができることを > その順序の帰納法で証明したものだから > > 真偽の定義なんて出てこないし > 自然数論に一意的な真偽の定義が存在し得ないことは > ゲーデルの不完全性定理で証明されている
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