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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76

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>>803 > >>802 > つづき > > §5　有限の立場での∀と∃の意味づけ > こんどは,∀XF(X)とか∃xF(X)という形の命題の > 真偽について考える。 > 自由変数は含まないが,∀や∃を含む命題の真偽は, > じつは,一般に,次の3つの場合にわかれる: > 1) 真であると決定できる場合 > 2) 偽であると決定できる場合 > 3) 真とも偽とも決定できぬ場合 > 事実,∀や∃を含まぬ命題については,3)の場合はあ > り得なかった。しかし,∀や∃を含む命題を問題にする > 以上,つねに3)の場合があり得ることを覚悟せねばな > らぬのである。 > 通常の立場では,自由変数を含まぬ命題の真偽は,わ > れわれがそれを決定できると否とにかかわらず,真か偽 > のいずれかに定まっている,と考える(排中律)。 > 有限の立場では,われわれが直接に確認し得ないことを, > 他の判断の根拠にはしない。 > > 5.　直観主義的自然数論の基礎づけは,上述のような > 常識的解釈だけでは困難である。命題の真偽に,より精 > 密な定義を与えることが必要となる。そして,それを実 > 行したのが,ゲソツェンによる"自然数論の無矛盾性証 > 明"である。ゲンツェンは,後に"証明"を改良し,証 > 明の外見からは"命題の真偽の概念"は見えなくなって > しまったけれど,裏には,同一の考え方が流れているこ > とに間違いはない。 > ゲーデルが > Uber eine bisher noch benutzte Erweiterung des > finiten Standpunktes, Dialectica 12 (1958) > において与えた自然数論の無矛盾性証明も,直観主義的 > 自然数論の命題の真偽に1つの解釈を与えたものなので > ある。 > (引用終り)
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