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現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む76

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>742
> >>103
> 遠隔レスだが
> 「数学的帰納法に反例が存在する」について
> 
> １）まず、自然数とは？
> 　(>>638より)「ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）」
> 　別の言葉で、「0から始まる後続者たち、有限順序数を全てからなる集合」ともいえる
> 　自然数の元は、すべて有限順序数である！！
> ２）で、いわゆる「数学的帰納法の反例」なるものは、すべて極限n→∞で、有限順序数nの外に出てしまっているのだ
> ３）例えば、
> ・逆三角関数で、y＝acrtan(n)を考えると、lim n→∞ acrtan(n)＝π/2 だが、
> 　任意の有限順序数nで acrtan(n)＜π/2 だ
> 　（maxとsupの差もご参照）
> ・無理数が、有理数のコーシー列で定義されるというのも同じ。
> 　任意の有限順序数nの範囲では、あくまで有理数にすぎない
> 　（数学的帰納法の反例にはならない）
> ・あと、昔あったのが、「開集合の無限個の共通部分が１点に潰れて閉集合になる」というのが反例だという
> （例えば下記 第3章 位相空間の基礎のキソ Tomoki Kawahira 東工大）
> 　これも、任意の有限順序数nの範囲では、あくまで共通部分は開集合であって、数学的帰納法の反例にはならない
> 
> QED （＾＾
> 
> （参考）
> https://w.atwiki.jp/mathlec/pages/17.html
> 講義に関する情報
> 逆三角関数のグラフとその主な値
> 
> https://mathtrain.jp/supmax
> 高校数学の美しい物語
> 2016/05/18
> sup（上限）とinfの意味，maxとの違い
> 
> http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/
> Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology
> http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/kiso.html
> 多様体の基礎のキソ （仮題）（ver.20170131）
> http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/kiso/03-isou.pdf
> 第3章 位相空間の基礎のキソ（ver.20170131）
> (抜粋)
> (O2)： 有限個の開集合
> 
> ここで，有限個の開集合という条件ははずせない．たとえば，R
> 2 における無限個の開円板
> Bn := {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 1/n}(n = 1, 2, . . .)
> の共通部分を考えてみるとよい．それは原点ただ一点であり，開集合とはならないのである．
> (引用終り)

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