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現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む76

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>>640
> >>638 補足参考
> >ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
> 
> ここわかりますかぁ〜ｗ（＾＾
> 「S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる
> 　そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
> 1つずつ
> 
> （参考）
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
> 順序数
> (抜粋)
> ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、ω 以上の（すなわち ω と等しいか ω より大きい）順序数を超限順序数と呼ぶ
> 0 が最小の順序数である
> その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる
> そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である
> ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
> その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く
> だがそれで終わりではない
> 無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである
> 
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
> 極限順序数
> (抜粋)
> 集合論および順序論における極限順序数は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う
> あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である
> 例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である
> 順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。順序数からなる空でない集合の合併は最大元を持たないから、常に極限順序数である

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