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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76

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>>603 > >>602 > 同値な定式化 > 集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる[1]。 > > 自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。 > この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ¬ P(n) } によって定める。この A が空集合であるということを示したい。 > そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。 > > 逆に、「n 以下の任意の自然数 k について k not∈ A」という形の命題 P(n) を考えることで、数学的帰納法から上の原理を導くことができる。A を自然数のある集合とし、A に属する最小の自然数が存在しないと仮定する。 > もし P(0) が成り立たないと、0 が A に属する最小の自然数となって仮定に反するから、P(0) は成り立つ。P(n) が成り立つとし、もし P(n + 1) が成り立たないとすると、n + 1 が A の最小の自然数となって仮定に反するから、P(n + 1) も成り立つ。よって数学的帰納法により A は空となる。 > (引用終り) > 以上
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