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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76

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>>492 > >>491 > > つづき > > 動機付けとなる例 > ノルムの和（これは実数を項とする通常の級数）が > Σ k=0〜∞ |xk| < ∞ > なる条件を満たすとき、絶対収束するという[1]。 > スカラー項級数の場合と全く同じく、絶対収束するベクトル項級数は > |L −Σk=0〜N xk|→ 0 as N→ ∞ > なる意味で、このユークリッド空間の適当な極限ベクトル L に収束する。 > このような性質（絶対収束級数は通常の意味でも収束する）は、ユークリッド空間の完備性 (completeness) として表される。 > > 定義 > H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。 > > 量子力学 > ディラック[41]とフォンノイマン[42]によって発展した量子力学の数学的に厳密な定式化は、量子力学系の取りうる状態（より正確には純粋状態）が、状態空間と呼ばれる可分な複素ヒルベルト空間に属する単位ベクトル（状態ベクトルという）によって（位相因子と呼ばれるノルム 1 の複素数の違いを除いて）表現される。 > > 量子状態の時間発展はシュレーディンガー方程式によって記述され、そこに現れるハミルトニアン（全エネルギーに対応する作用素）は時間発展を生み出す。 > > 二つの状態ベクトルの間の内積は確率振幅として知られる複素数になる。量子力学系の理想的な測定の間で、系が与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態から終期状態の間の確率振幅の絶対値の平方によって与えられる。 > 測定の結果として可能なのは、作用素の固有値であり（これは自己随伴作用素のとり方を説明する）、全ての固有値は実数でなければならない。与えられた状態の可観測量の確率分布は対応する作用素のスペクトル分解を計算すれば求められる。 > (引用終り) > 以上
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