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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>8
> 層とトポスと直観論理と強制法で連続体仮説
> https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/home
> 筑波大学 数理物質系数学域助教竹内耕太
> https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3
> category_seminar_3 企画　「圏論への招待」2012
> https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3/sato
> 3日目　「トポスとは何か：圏論的視点での強制法」：佐藤桂 - Kota Takeuchi:
> (抜粋)
> 　例えば、ある圏Cから集合の圏Setへの（反変）関手圏C＾は（関数環が値域の構造を反映するのと同じく）集合の圏の構造（これは古典論理）を反映しつつも似て非なるトポス（これ直観論理）となります。
> ところで、この圏を位相空間Xの開集合系のなす圏O(X)とすれば、この関手圏はその位相空間X上の前層の圏O(X)＾になりますが、幾何学ではこの圏を“絞り込んだ”圏である層の圏Sh（X）を使います。
> ちょっと不思議なのは、この絞り込んだ圏Sh(X)にもトポスの構造が入るところです。
> 
> 「じゃあ、一般の圏にも位相入れたら、層の圏Sh(C)的なの作れて、トポスになんじゃね？」
> 
> というわけで圏Cにグロタンディーク位相なるものを入れて作ったトポスがグロタンディーク・トポスです！！
> こんなアナロジーがとれてしまうのは驚きですが、これが何の役に立つんでしょうか。
> 
> 強制法で連続体仮説の成り立たない反例を作るには、そもそもそのモデルがZFC公理系を満たしていなければ意味がありません。
> ところが、ZFC公理系は当然ながら古典論理の範疇にあるので、先の集合の圏への関手圏は集合の圏に似てはいても、そのままでは直観論理状態で使い物になりません。
> 
> ところがところが、この直観論理状態のトポスには「二重否定が元に戻らない」ことを利用して“二重否定位相”なるものを作ることができて、これを使って圏を“絞り込む”（層の圏を切り出す）と
> なんと、古典論理状態のトポス（しかも集合の圏とは違うもの、コーエン・トポス）になります！！
> これでめでたくZFC公理系を満たす新しいモデルが作れ、しかもこのモデルが連続体仮説をダメにすることがわかるのです。
> 
> 本講義では、いちばん面白いと思われる、この層への絞り込み（特に二重否定位相を使った絞り込み）を詳しめに紹介したいと思っています。
> (引用終り)

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