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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>622
> >>621 形式的冪級数 関連 引用
> 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19
> http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/125
> 125 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2016/05/15(日) 07:50:16.70 ID:2TKPQHsX
> >>93 自己レス
> 
> ”時枝の箱の列←→形式的冪級数の集合R[[x]]”と書いたけど
> 下記、落合理先生は、「係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.」という
> 「時枝の箱の列←→形式的冪級数 という全単射対応は、認めるとしよう」と書いたけど、間違いかな。ここ突っ込んでくる人いなかったけど（＾＾；
> 
> K[[X]] が”次元は非可算無限”という理由は、テイラー展開の二項定理 (1+x)^α （αは任意の実数 または複素数）で、これが形式的冪級数に展開できるからだろう
> しかし、全単射可能だと、ベクトル空間の次元は一致しないといけない。だから全単射ではない？　はて
> 
> メモしておきます
> ともかく、時枝先生のなぞかけは、けっこう深いね
> 
> http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/
> 数学考究２ 確認小テスト解説(10-8) 落合理 大阪大学 20151008
> http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kakunin_short_exam151008.pdf
> 確認小テスト問題(10/8)
> http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kaitou_short_exam151008.pdf
> 確認小テスト解説(10/8)
> 
> Q.[3] 次のベクトル空間V に対して, 基底を具体的に記せ.
> (4) K 係数の1 変数多項式環K[X].
> 
> A.[3](4)
> 例えば, 1,X,X^2, ． ． ． ,X^n, ． ． ． が基底となる.
> 
> 発展的コメント
> 若干の注意を与えておく. 教科書の定理1.6.7 によって勝手なK ベクトル空間は基底を持つことが知られている.
> しかしながら, V が無限次元のときには与えられたベクトル空間に(4) のようにわかりやすい基底がとれるとは限らない.
> 例えば, K[X] の代わりに係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.
> （引用おわり）
> 以下略

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