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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>462 > >>461　補足 > おっと、肝心なところの引用が抜けた > > ＜補足＞ > > 定義 （追加） > > このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は距離空間となる。内積空間のことを前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ぶこともある[4]。距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。 > 完備性は、H 内の列に対するコーシーの判定法（英語版）の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 H が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件 > > ベクトル項級数 k = 0〜 ∞ Σ uk が > k = 0〜 ∞ Σ｜ u k ｜ < ∞ > なる意味で絶対収束するならば、もとの級数は（部分和が H の元に収束するという意味で） H において収束する。 > > によっても特徴付けることができる。 > > 完備なノルム空間であるという点で、定義によりヒルベルト空間はバナッハ空間でもある。これらは位相線型空間であり、開集合や閉集合といった位相的概念を定めることができる。特に重要になるのが、ヒルベルト空間の閉部分空間の概念である。 > 完備距離空間の閉部分集合は（そこへ距離を制限すれば）それ自身完備距離空間となるから、ヒルベルト空間の閉部分空間は（そこへ内積を制限するとき）それ自身ヒルベルト空間をなす。 > > (引用終り)
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