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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>364 > >>363 補足 > > 大学レベルでは、超限帰納法で、普通に自然数以外の添字集合使います。整列可能定理により、任意濃度の集合に対して、添字集合として使えますが、なにか > https://kotobank.jp/word/%E8%B6%85%E9%99%90%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95-97776 > 超限帰納法(ちょうげんきのうほう)とは - コトバンク: > > ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説 > 超限帰納法 > ちょうげんきのうほう > transfinite induction > 順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。 > > 本文は出典元の記述の一部を掲載しています。 > > 世界大百科事典 第２版の解説 > ちょうげんきのうほう【超限帰納法 transfinite induction】 > 一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。 > 〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。 > これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。 > するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。 > > > https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95 > (抜粋) > 超限帰納法 > 上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 > 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。 > (引用終り)
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