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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>153 > >>152 補足 > > コンパクト性定理があるから（下記）、超準自然数系を考えても良いが、いまはそれは仮定していないからね > 普通の自然数に無限大自然数は含まれないね > > http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207 > 2005-12-07 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 > (抜粋) > ●コンパクト性定理 > > モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。 > > ・Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ > > これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。 > > 論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。 > > ・Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある > > つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。 > > 応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。 > > コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。 > (引用終り)
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