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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>144
> https://infinitytopos.wordpress.com/2015/02/15/%e2%88%9e%e3%82%ab%e3%83%86%e3%82%b4%e3%83%aa%e3%83%bciv/
> ∞カテゴリーIV 投稿日: 2015年2月15日 投稿者: infinity_topos
> (抜粋)
> 　前回の投稿で予告したように，simplicial setの持つ様々な帰着原理について紹介しよう．
> 
> ●米田、余完備、Kan拡張
> 　さて，まず比較的一般性の高い事実から始めよう．simplicial setの圏\displaystyle \mathsf{Set}_\Deltaは前層の圏である．そこで，前層に一般的に成立する次の基本的な定理を復習しよう．
> 　Theorem.
> 　任意の前層\displaystyle P\in \mathsf{Set}^{C^{op}}は表現可能関手の余極限\displaystyle \varinjlim_{y\downarrow P} Hom(-,c_i)と同型である．
> 
> 　
> 証明はMacLaneなどを参照されたい．index categoryの定義を述べていないが，とりあえず「任意の前層は表現可能関手の余極限で表される」と標語的に覚えておこう．以下では単に\displaystyle P\cong \varinjlim Hom(-,c_i)と表す．
> 　
> 　さて，実はこの定理から次の興味深い事実が成立する．
> 　Theorem.(Adjoint principle)
> 　\displaystyle C,Dを圏とし，関手\displaystyle f:C\to Dが与えられているとする．このとき，\displaystyle Dが余完備ならば，関手fの拡張\displaystyle F:\mathsf{Set}^{C^{op}}\to Dが存在する．また，Fには右随伴関手Gが存在する．
> 
> 　これらF,Gはexplicitな構成を持つ．
> 
> \displaystyle F(P)=F(\varinjlim Hom(-,c_i)):=\varinjlim f(c_i)
> \displaystyle G(d):=Hom_{D}(f(-),d)
> 
> これらが互いに随伴になることは容易に示される．実は\displaystyle C=\Deltaの場合に今までに出てきた随伴はこの具体例である。
> (引用終り)

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