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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>139
> つづき
> 
> 　これは最も説明しやすい．つまり，Hom集合に”空間”の構造が入っているという事である．通常の圏は，離散位相によりtopological categoryとみなすことができ，逆にtopological categoryが与えられればその”Hom空間”のΠ_0をHom集合として取ることにより”ホモトピー圏”を得ることができる．
> 異なるtopological categoryでも，”Hom空間”がup to homotopicで同型であれば，同じホモトピー圏を与えることが出来るという事である．次のモデルも本質的には変わらない．
> 　Definition.(simplicial category)
> 　simplicial categoryとはsimplicial setの圏に関するenriched categoryである．
> 
> 　simplicial setについては何も説明していないが，実はこれはある意味で「位相空間と同値な空間概念」とみなすことが出来る．
> 例えば，位相空間の特異コホモロジーはDold-Kan対応によりsimplicial setのコホモロジー論の一部とみることが出来るし，特筆すべきことは位相空間の基本群，ホモトピー群と同値な理論をsimplicial set内で構成する事が出来る．
> これらは，特異単体を取る関手と幾何的実現関手により同値にうつりあう．このことから，simplicial categoryがtopological categoryと「同値な枠組み」である事は感覚的に”納得”は出来るだろう．
> 　
> 　以上のモデルは比較的その”意味”について納得しやすいものだろう．しかし，Higher Topos Theoryにおいて中心的に扱われるのは，これらではなく次のquasi categoryと呼ばれるものである．
> 　Definition.(quasi category)
> 　simplicial set Sがquasi categoryであるとはinner horn inclusion
> \displaystyle \{ \Lambda^{n}_{k} \to \Delta^{n} | n\in \mathbb{N}, 0<k<n \} に対して(uniqueとは限らない)Extension Propertyを持つ事をいう．
> 
> 　この定義は非常に突拍子のない定義のように思われる．まず，そもそも圏ではなく「ある条件を満たすsimplicial set」が∞カテゴリーだというのだ．
> また，なぜこの定義を採用する強みは何なのだろうか？さらに，これらのモデルの”同値性”とは何なのだろうか？これらを説明するにはまたもう少しの準備が必要となるため，次回以降の記事において解説しようと思う．
> (引用終り)

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