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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>138 > つづき > ●enriched categoryによるアプローチ > 　さて，ここまで明確な定義を与えず高次圏の概念を説明してきたが，実は高次圏の問題はその定義にあった．というのも，多くの手法によって良い定義を与える努力が為されてきたが，あまり上手く行かなかったのである．例えば，古典的なものとしてはenriched category(豊穣圏)を用いた定式化があった．それを軽く説明しよう． > > 　まず，enriched categoryとは，大雑把にいうとHom集合にある圏Vの対象の構造が入る圏である．例えば，通常の圏はSet-enriched categoryだと考えられる．また，圏の圏CatはHom集合に関手圏としての構造が入る．このことから，次のような定義が与えられた． > 　Definition.(strict n-category) > 　0-圏をSetとする．n-圏とは(n-1)Cat-enriched categoryの事である． > 　 > 　しかし，このような定義は技術的に非常に扱いずらい問題があった．その理由としては単純に射が多すぎるため，その可換性の条件などが非常に煩雑になるという訳だ．せいぜい2-圏が限界で，3-圏になるととても扱えたものではなかった．このように，多くの情報を扱う分「その情報をいかに簡略化し扱いやすくするか」という事は付随する大きな問題であった． > > ●∞カテゴリーの3つのモデル > 　さて，Lurieの理論に話をもどそう．Higher Topos Theoryにおいて，この”(∞,1)-圏”というアイデアを実現する対象として，ある意味において同値な次の3つのモデルを導入している． > > topological category > simplicial category > quasi category > > それぞれについて解説しよう．最初の二つはenriched categoryの枠組みを用いる． > 　Definition.(topological category) > 　topological categoryとは(コンパクト生成ハウスドルフな)位相空間の圏に関するenriched categoryである． > 　 > つづく
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