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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>137
> 「圏論の歩き方」第８章 座談会
> ”下鴨：・・圏自身を代数構造として研究しようという話ですよね。この方向でもっとできることがあるし、またやらなければならない・・・”という発言
> 
> これに関連して、∞カテゴリーとか、高次圏、quasi category などがある（下記）
> 圏論の拡張版だね（＾＾；
> 
> https://infinitytopos.wordpress.com/2015/01/30/%E2%88%9E%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC/
> ∞カテゴリー ? はじまりはKan拡張  2015年1月30日 投稿者: infinity_topos
> 
> 　以前の投稿でも書いたように，近年Jacob Lurieによる∞カテゴリー理論の進展が著しい．しかし，いまだにその理論の基礎を解説する日本語の文章は殆ど見受けられないように思われる．そこで，何回かに分けて，以下でその初歩の部分について解説をしてみようと思う．
> 
> ●高次圏とは何か
> 　まず，高次圏の理論について解説しよう．通常の圏は対象と射を持つが，高次圏とはそれに加え”高次の射”を持つ圏の事である．例えば，2-圏とは対象と射に加え「射の射」である2-射を持つもので，3-圏は「2-射の間の射」である3-射を持つものである．
> このようにして，n-圏が定義される．そのようなものの最もシンプルな具体例としては，圏の圏Catが挙げられる．圏の圏Catは対象は圏，射は関手に加え，2-射として自然変換がある．
> 
> 　ここで大切なのが，多くの高次の射を考えるだけではなく，高次の射の同型を考えることだ．例えば，二つの圏が与えられたとき，それらが圏同型である事を要請することは少し強すぎる．通常では圏同値までしか考えない．
> 二つの圏が圏同値である事は，互いに与えられた関手の合成が恒等関手とならなくとも，恒等関手と自然同値であるという事である．つまり，2-射の同値を無視して同型ということになる．
> 
> 　このように，n射を持つ圏でr射より高次の射が同型なものとなっているものを(n,r)-圏という．例えば，Catは圏，関手，自然同値によって(2,1)-圏とみなせる．ここで注意したいのが，Lurieの理論で用いられているのは(∞,1)-圏である．つまり，無限に高次の射を持つが，2-射以降はすべて同型であるようなものを構築しているという事である．
> つづく

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