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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>130
> 米田函手はY:C→SetsCop
> これは位相から前層への写像とみることができます。だと
> http://myuon-myon.hatenablog.com/entry/2013/05/30/231549
> PSh圏とcolimit - Just $ A sandbox  2013-05-30
> 
> 位相空間Xに対して、X上の前層Fとは、Xの開集合から集合への写像
> F(U)(U∈O(X))
> 
> (で、かつ制限写像というものが定められているものの)のことです(詳しくは層 (数学) - Wikipedia等を参照)。
> 
> ここで、O(X)
> に包含関係で順序を入れてこれを順序集合の圏(Cと表記)とみなします。するとFは、
> F:Cop→Sets
> なる反変函手であって、この函手を対象、函手の間の自然変換を射とするような函手圏SetsCopが定義できます。
> (余談ですが、SetsCopは米田の補題でもおなじみの圏です。米田函手はY:C→SetsCop
> 
> という函手だったので、これは位相から前層への写像とみることができます。)
> 
> こうしてできたXの上の前層の圏をPSh(X)
> 
> とかきます。
> 
> さらにX上の前層が層であるとは、Xの全ての開集合U
> について、既約性条件と閉条件と呼ばれる2つの条件をみたすようなもののことです。これを圏の言葉で書くと、
> 対象F(U)と射F(U)→ΠiF(Ui)
> 
> が\prod_i F(U_i) \Rightarrow \prod_{(i_0,i_1) \in I \times I} F(U_{i0} \times U_{i1})のequalizerである*1といえます。
> 
> 前層はただの反変函手に過ぎませんがよい性質を持っています。例として次の命題を挙げます。
> 
> Def: 函手F:Cop→Sets
> 
> が h_X:=\mathscr{C}(-,X) \quad : \quad \mathscr{C}^{op} \to Setsと自然同型であるとき、この函手を表現可能とよぶ。
> 
> Prop: 全ての前層は表現可能な前層のcolimitである。
> 
> とても面白い性質です！
> 
> 前層がlimitを持てばequalizerも持つはずなので上のことから自然に層になります。
> (またnLabによるとこのcolimitはcoendを使って書くとすっきり表現できるらしいのですが、まだそこまでは理解が追いついていないです。)
> 参考文献
> 
> Stacks Project ? Tag 006D 前層の定義
> Stacks Project ? Tag 0071 層の定義
> representable functor in nLab 表現可能函手の定義
> presheaf in nLab 最後にあげた命題の証明ものってます
> 
> *1:ここで⇒は、2本の平行射を表します

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