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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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>>110
> つづき
> 
> ところで、数列を頭で分類するのが、コーシー列
> 
> >>42にならって
> π＝ x ＝ 3.14159265358979…
> e/10 ＝ y ＝ 0.2718281828459…
> ここで、数列 2718281828459…をπ＝ xの後ろに連結すると
> z ＝ 3.14159265358979…2718281828459…
> 
> としてみよう
> 数列を頭で分類するコーシー列なら、x ＝ z
> つまり、zはコーシー列として、πに収束する
> これは証明できる
> 
> proof:
> １．πに収束する数列を考える
> π＝ 3.14159265358979… ＝a1. a2a3a4a5・・・an・・・
> a1=3, a2=1,a3=4,a4=1,a5=5・・・・・　（an＝πの少数第n-1位の数）・・・
> 
> ２．ここで、e/10 ＝ 0.2718281828459…、e/100 ＝ 0.02718281828459…,・・・,e/10^n=0.0・・・2718281828459…（少数第ｎ位から2718281828459…となる） を考える
> 
> ３．πに収束する次の数列を考える
> π'1=a1+e/10＝3. 2718281828459…
> π'2=a1. a2+e/100＝3.1 2718281828459…
> 　・
> 　・
> π'n=a1. a2a3a4a5・・・an+e/10^n＝3.14159265358979・・・an +e/10^n＝3.14159265358979・・・an 2718281828459…
> ここで、n→∞の極限を取ると
> lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…
> 
> ４．ここで、後半のe/10^nの部分は、e/10^n→0に収束する。そして、前半の3.14159265358979・・・an・・・の部分はπに収束する
> 従って、π'n=a1. a2a3a4a5・・・an+e/10^nは、πに収束する
> （ＱＥＤ）
> 
> そして、繰り返すが、π'nの数列については、上記のようにπ'1=3. 2718281828459…、π'2=3.1 2718281828459…、・・・、π'n=3.14159265358979・・・an 2718281828459…だったから
> n→∞で、lim(n→∞) π'n=3.14159265358979… 2718281828459… と書ける

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