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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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>>85 > >>84 > >>82の主に前半(「ところが」までの部分)は、 > >体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。 > >仮に或る開区間 I に対して、K∩I を完備とすると、体Kは通常の加減乗除について > >閉じているから、K∩I のすべての元に対して何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、 > >或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属するような、完備な閉区間 [-ε,ε] を構成 > >出来る。従って、加減乗除の操作を任意に可算無限回施すと、[-ε,ε] から > >実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を任意に可算無限回施すと > >KからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。しかし、KはRの真部分集合で > >Rとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、矛盾が生じる。 > >従って、如何なる開区間 I⊂R に対しても、(Q(S))(k) と I の共通部分 K∩I は完備とはならない。 > と訂正。単に開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0)を一般の開区間 I にしただけ。 > > 本題に戻る。任意の完備な順序体は実数体Rに同型である。上の議論から、Kは完備ではなく、 > Rに同型ではない順序体。距離空間としてのKは、直線R上完備ではなく かつ 連結ではないから、 > Kは直線R上至る所不連結な体である。しかし、体 Q(S)、K＝(Q(S))(k) は自己稠密集合である。 > 従って、KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。 > Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。 > 従って、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。 > これは、はじめに背理法の枠組みで m(Q(S))＞0 と仮定していることに反する。
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