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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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>>82 > 前スレ668のおっちゃんの証明が素通りされていた。再掲しておく。 > > 668 １３２人目の素数さん sage 2015/11/28(土) 08:54:42.73 ID:gImjm0uw > >>655 > 体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。 > 仮に或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) に対して、(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I を > 完備とすると、体Kは通常の加減乗除について閉じているから、K∩I のすべての元に対して > 何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属する > ような、完備な閉区間 [-ε,ε]⊂S を構成出来る。従って、加減乗除の操作を任意に > 可算無限回施すと、[-ε,ε] から実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を > 任意に可算無限回施すとKからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。 > しかし、KはRの真部分集合でRとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、 > 矛盾が生じる。従って、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) に対しても、 > (Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I は完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、 > 体 Q(S) は完全集合だから、Q(S) は自己稠密集合。従って、体 K＝(Q(S))(k) は > 自己稠密集合で、K∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、Rに真に含まれる > 自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊃K＝(Q(S))(k)。 > しかし、体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包 > は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。 > これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。
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