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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net
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>>6 > >>5 つづき > >複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。 > > これは、下記と同じ > https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0 > 例 > ・拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。 > ・n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。 > ・Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。） > ・Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。 > （引用おわり） > > 「複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ」とか > 「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）」 > について > > まず、複素数で考えよう（その方が代数的にすっきりする） > 私の理解は、前スレ674で書いたように > 超越数全体⊂Q(S)⊂Rだと理解しているが、違う？ > > 超越数全体の集合が、非加算で連続の濃度を持つ。また、Rは当然、非加算で連続の濃度を持つ。 > だから、間のQ(S)が、非加算で連続の濃度を持つ。 > 従って、基底のSも、非加算で連続の濃度を持つ。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。） > > この理解で合っている？ 間違っている？（もちろん、合っていると思っているが）
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