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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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>>261 > >>236 ここに戻る > > おっちゃんかな？ > > >>集合{s1,s2,s3・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義 > >が間違っている。card(S)＝c である以上、こういう記述は出来ない。 > > 当然、超限帰納法を念頭に書いたのだが、ご指摘のように適切ではない > 特に、学生はやめた方が良い。「分かってない！」と思われるおそれがあるから。試験の採点では普通抗弁の機会がないし > が、厳密に書けば、下記のように、”任意の整列集合に対して”「選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して」適用できる > だから、”card(S)＝c”では帰納法は適用できないが超限帰納法は適用可能だ。むしろ問題は次だ > >>254に示した「Q~(代数的数)→C（複素数）拡大における超越基底の具体的超越数不可定理」からすると、”この超越基底は整列集合ではない”（問題T4）という予想が成り立つ > > https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95 > 超限帰納法 > 上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 > この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。 > 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。 > > 超限帰納法 > (A , ?) を整列集合とし、P(x) を A の元 x に関する命題とする。 A は整列集合であるから "?" について最小元を持つ。 > これを 、a0 とする。もし次の2つの条件が成立するならば、任意の x ∈ A について P (x) が成り立つ。 > （引用おわり）
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